MÉTODO SIMPLEX (Programación Lineal) (SESIÓN 6)

MÉTODO SIMPLEX 

Este método sigue siendo de la programación lineal, considero que es bastante útil para las empresas ya que permite solucionar aquellos problemas donde necesiten optimizar sus recursos de la forma más eficaz y eficiente posible.

Desde el punto de vista de la Administración de Empresas es un instrumento de mucha aplicación, ya que permite efectuar pronósticos más objetivos y tomar decisiones mucho más eficaces conociendo los resultados por este método.

Enseguida procederé a resolver el ejemplo que se realizó en la entrada anterior que se resolvió en Solver solo que en esta ocasión lo resolveré por el método Simplex.

Problema:

Una pastelería fabrica dos tipos de tartas. La tarta tipo A se elabora con 1 kg de masa y 1.5 kg de chocolate y se vende a Q. 24.00 la de tipo B se elabora con 1.5 kg de masa y 1 kg de chocolate y se vende a Q. 30.00

Si la pastelería dispone de 300 kg de cada ingrediente ¿Cuántas tartas de cada tipo debe de fabricar para obtener la máxima utilidad? 

Lo resolveré paso a paso.

PASO 1: Determinar la función objetiva.

Dos variables

X= Tarta Tipo A – Q. 24.00

Y= Tarta Tipo B – Q. 30.00

Ø  Zmax = 24x + 30y 

PASO 2: Definir las restricciones o limitantes.

	X	Y	Limitantes
Masa	1	1.5	300
Chocolate	1.5	1	300

 

Construimos las inecuaciones con las restricciones.

1x+1.5y≤300

1.5x+1y≤300

PASO 3: Igualar la función objetivo a cero.

Zmax = 24x + 30y

Ø  Zmax = – 24x – 30y = 0

PASO 4: Convertir las inecuaciones en ecuaciones agregando una variable de holgura (h).

Inecuaciones	Ecuaciones
1x+1.5y≤300	1x+1.5y+h1=80
1.5x+1y≤300	1.5x+1y+h2=120

PASO 5: Construir la TABLA SIMPLEX con los datos de las ecuaciones y la función objetivo.

	X	Y	h1	h2	Z	C
h1	1	1.5	1	0	0	300
h2	1.5	1	0	1	0	300
Zmax	-24	-30	0	0	1	0

PASO 6: Se identifica el elemento más negativo de la fila Z (Se llamará columna pivote)

El elemento más negativo de la fila Z (Zmax) = – 30 (Columna Pivote) 

	X	Y	h1	h2	Z	C
h1	1	1.5	1	0	0	300
h2	1.5	1	0	1	0	300
Zmax	-24	-30	0	0	1	0

PASO 7: Identificación de la fila Pivote.

Ø  Dividir cada valor de C entre cada valor de la columna pivote.

 300/1.5= 200 (h1 Fila Pivote)

300/1= 300

	X	Y	h1	h2	Z	C
h1	1	1.5	1	0	0	300
h2	1.5	1	0	1	0	300
Zmax	-24	-30	0	0	1	0

PASO 8: Teniendo la columna y fila pivote se determina el elemento pivote.

	X	Y	h1	h2	Z	C
h1	1	1.5	1	0	0	300
h2	1.5	1	0	1	0	300
Zmax	-24	-30	0	0	1	0

 

PASO 9: Inicia la reducción de renglones en base al procedimiento de transformaciones de elementos. El elemento pivote se convierte a uno y todos los elementos debajo y encima se convertirán a cero.

A.    Convertir elemento pivote a 1. (Dividiendo la h1 dentro de 1.5) 

Realización de la operación: 

	X	Y	h1	h2	Z	C
h1	1 / 1.5 = 2/3	1.5 / 1.5 = 1	1 / 1.5 = 2/3	0 / 1.5 = 0	0 / 1.5 = 0	300 / 1.5 = 200
h2	1.5	1	0	1	0	300
Zmax	-24	-30	0	0	1	0

Matriz resultante:

	X	Y	h1	h2	Z	C
h1	2/3	1	2/3	0	0	200
h2	1.5	1	0	1	0	300
Zmax	-24	-30	0	0	1	0

B.    Convertir 1 a 0. (h2 – h1) 

Realización de la operación: 

	X	Y	h1	h2	Z	C
h1	2/3	1	2/3	0	0	200
h2	1.5 – 2/3 = 5/6	1 – 1 = 0	0 – 2/3 =   -2/3	1 – 0 = 1	0 – 0 = 0	300 – 200 = 100
Zmax	-24	-30	0	0	1	0

Matriz Resultante:

	X	Y	h1	h2	Z	C
h1	2/3	1	2/3	0	0	200
h2	5/6	0	- 2/3	1	0	100
Zmax	-24	-30	0	0	1	0

 

C.    Convertir -30 a 0. (Zmax + 30(F1))

Realización de la operación: 

	X	Y	h1	h2	Z	C
h1	2/3	1	2/3	0	0	200
h2	5/6	0	- 2/3	1	0	100
Zmax	-24 + 30(2/3) = -4	-30 + 30(1) = 0	0 + 30(2/4) = 20	0 + 30(0) = 0	1 + 30(0) = 1	0 + 30(200) = 6,000

 

Matriz Resultante:

	X	Y	h1	h2	Z	C
h1	2/3	1	2/3	0	0	200
h2	5/6	0	- 2/3	1	0	100
Zmax	-4	0	20	0	1	6000

 

PASO 10: Verificar si la fila Zmax posee solo valores positivos, en caso que hubiera un valor negativo se repite los pasos 6, 7, 8, y 9. 

Ø  Repetimos el paso 6, 7, 8 y 9 porque si hay un valor negativo el -4 de Zmax con X. 

v  Se identifica el elemento más negativo de la fila Z (Se llamará columna pivote) 

El elemento más negativo de la fila Z (Zmax) = – 4 (Columna Pivote) 

v  Identificar la Fila Pivote. 

(200) / (2/3) = 300 

(100) / (5/6) = 120      (Fila Pivote) 

6,000 / - 4 = -1,500

Seleccionar el resultado más pequeño. Que es = 120 (h2 Fila Pivote) 

v  Identificar elemento pivote. 

    Elemento pivote es 5/6.

TABLA SIMPLEX

	X	Y	h1	h2	Z	C
h1	2/3	1	2/3	0	0	200
h2	5/6	0	- 2/3	1	0	100
Zmax	-4	0	20	0	1	6000

 

A.    Convertir elemento pivote a 1. (h1 / 5/6)

Realización de la operación: 

	X	Y	h1	h2	Z	C
h1	2/3	1	2/3	0	0	200
h2	(5/6) / (5/6) = 1	0 / (5/6) = 0	(-2/3) / (5/6) = -4/5	1 / (5/6) = 6/5	0 / (5/6) = 0	100 / (5/6) = 120
Zmax	-4	0	20	0	1	6000

 Matriz Resultante.

	X	Y	h1	h2	Z	C
h1	2/3	1	2/3	0	0	200
h2	1	0	- 4/5	6/5	0	120
Zmax	-4	0	20	0	1	6000

 

B.    Convertir 2/3 a 0. (h1 – 2/3(F2))

 Realización de la operación: 

	X	Y	h1	h2	Z	C
h1	2/3 – 2/3(1) = 0	1 – 2/3 (0) = 1	2/3 – 2/3(-4/5) = 6/5	0 – 2/3(6/5) = -4/5	0 – 2/3 (0) = 0	200 – 2/3(120) = 120
h2	1	0	- 4/5	6/5	0	120
Zmax	-4	0	20	0	1	6000

Matriz Resultante:

	X	Y	h1	h2	Z	C
h1	0	1	6/5	- 4/5	0	120
h2	1	0	- 4/5	6/5	0	120
Zmax	-4	0	20	0	1	6000

 

C.    Convertir - 4 a 0. (Zmax + 4(F2))

Realización de la operación: 

	X	Y	h1	h2	Z	C
h1	0	1	6/5	- 4/5	0	120
h2	1	0	- 4/5	6/5	0	120
Zmax	-4 + 4(1) = 0	0 + 4(0) = 0	20 + 4(5/6) = 84/5	0 + 4(-4/5) = 24/5	1 + 4(0) = 1	6000 + 4(120) = 6,480

Matriz Resultante: 

	X	Y	h1	h2	Z	C
h1	0	1	1 1/5	- 4/5	0	120
h2	1	0	- 4/5	1 1/5	0	120
Zmax	0	0	16 4/5	4 4/5	1	6,480

PASO 11: Finalizando el procedimiento se comprueba los resultados.

h1 =    120

h2 =    120 

Ø  Función objetiva: sustituimos los valores. 

Zmax = 24x + 30y 

Zmax = 24(120) + 30(120) 

Zmax = 2,880 + 3,600 

Zmax = Q. 6,480.00

R// Para obtener la máxima utilidad se debe de suministrar 120 Tartas de Tipo A y 120 Tartas de Tipo B.

Al final nos podemos dar cuenta que llegamos al mismo resultado, solo que esta forma podemos decir que es manualmente y lo que resolvimos en Solver es un poco más fácil ya que solo es de formular el problema posteriormente insertar los datos en Solver.