CADENAS DE MARKOV

Los procesos de Markov presuponen la estabilidad o el equilibrio de un determinado fenómeno en el tiempo. Es decir que cierto evento se ha de desarrollar de una determinada manera y en el largo plazo, cada vez que vuelva a suceder tal evento, tenderá a estabilizarse; es decir a mantenerse con iguales o parecidos valores de probabilidad.

Ejemplo:

Utilice las Cadenas de Markov para obtener la conducta a largo plazo de los estudiantes:

El 95% de los estudiantes que realizan el primer laboratorio de Matemática Aplicada II correctamente, continúan realizándolos con óptima eficiencia posteriormente, en tanto que el 15% de los que cometen errores en el primer laboratorio, continúan deficientes en las pruebas posteriores.

1)      Existen dos variables claramente definidas:

a.      Los que representan a los estudiantes que ejecutan laboratorios correctamente.

b.       Los que realizan con deficiencia y no mejoran 

 

2)      Construir una matriz con las dos variables

a.      L = Los que realizan las pruebas correctamente.

b.      P = Los que realizan las pruebas con deficiencia

L = 0.95          0.05     »          100% 

P = 0.85          0.15     »          100% 

  3)      Se puede resolver la matriz por reducción de matrices; para homogenizar el sistema de ecuaciones se puede convertir los decimales en enteros multiplicando por 100. 

Ø  (0.95p1 + 0.85 p2 = p1) * 100 (0.05p1 + 0.15 p2 = p2) * 100

Ø  (0.05p1 + 0.15 p2 = p2) * 100

ü  La primera ecuación después de la multiplicación por 100 queda:

95p1 +85 p2 = p1

ü  La segunda ecuación después de la multiplicación por 100 queda:

5p1 + 15 p2 = p2

De lo anterior se tiene un total de sistemas de ecuaciones:

·         95p1 +85 p2 = 100p1

·         5p1 + 15 p2 = 100p2

p1 + p2=1

Igualar las ecuaciones a cero y simplificarlas, podemos combinar cualquiera de las dos ecuaciones simplificadas con la ecuación general igualada a 1:

·         95p1 +85 p2 = 100p1

·         95p1 +85 p2-100p1=0 95p1 +85 p2 -100p1= 0

Simplificamos: -5 p1 + 85p2 = 0

·         5p1 + 15 p2 = 100p2 5p1 + 15 p2 -100p2= 0

·         5p1 -85 p2 = 0

p1 + p2=1 

 

Se procede a someter las ecuaciones a la reducción de matrices, indistintamente se puede utilizar la primera o segunda matriz despejada.

·         -5 p1 + 85p2 = 0

·         5p1 -85 p2 = 0

p1 + p2=1

Confirmando los datos

a.      L= Los que realizan las pruebas correctamente

b.      P= Los que realizan las pruebas con deficiencia

 

Tomando los datos de la última matriz

L= 17/18 = 0.94 = El 94% de estudiantes realizan pruebas correctamente en el primer laboratorio y se mantienen realizándolas de la misma manera.

P= 1/18= 0.06 = El 6% de estudiantes realizan pruebas con error en el primer laboratorio y se mantienen realizándolas de la misma manera.

Ø  L  +  P = 100%

Ø  94% + 6% = 100%

Ø  0.94 + 0.06 = 1

En los negocios, las cadenas de Markov se han utilizado para analizar los patrones de compra, los deudores morosos, para planear las necesidades de personal y para analizar el reemplazo de equipo.